Disequazioni di I grado frazionarie

Il motivo che mi spinge a parlare di disequazioni prima che di equazioni (come sarebbe naturale) è che noto molte più difficoltà da parte dei ragazzi a risolverle. E visto che Formazione Salerno vuole anche essere un sussidio nello studio ho deciso di trattarle.

In generale una disequazione è una relazione tra 2 quantità in cui compare il simbolo maggiore (>) od il simbolo minore (<); per cui dobbbiamo “preoccuparci” di determinare per quali/e valori/e dell’incognita tale relazione è soddisfatta.

Se dico che Marco ha 15 anni mentre Anna ne ha 14 è ovvio dire che Marco è più grande (in termini di età) di Anna; è un dato di fatto che dipende solo dall’anno di nascita! Ma se abbiamo una scrittura del tipo x-4>0 allora dobbiamo capire quale valore dare alla x affinchè la relazione risulti vera. L’esempio fatto ora è semplice, perchè basta trasportare da un lato tutti i termini con l’incognita e dall’altro tutti quelli senza, cambiando i segni, e farne la somma algebrica: x>+4, che significa che la relazione è soddosfatta ogni volta che alla x attribuiamo un valore più grande di 4.
Se x=30 allora 30>4 è vero; se x=1000 allora 1000>4 è vero, e così via.

Lo stesso principio vale anche se qualche termine è una frazione: `1 / 2 *x+1>{x-3}/4` facciamo il minimo comune multiplo (mcm=4) da cui `{2x+4} / 4 > {4x-3}/ 4`, moltiplichiamo ambo i membri per 4, da cui `2x+4>4x-3`; trasportiamo da un lato i termini con le x, cambiando il segno `2x-4x>-4-7`; facciamo la somma algebrica, `-2x>-11 iff 2x<11` (moltiplicando tutto per -1 dobbiamo cambiare il verso della disequazione) `x<11 / 2`.

Dopo aver ricordato questi principi generali, passiamo alle disequazioni frazionarie:

Si dice frazionaria una disequazione in cui l’incognita compare anche (o solo) al denominatore.

`{x-3} /{x+4}> -1` Cosa si fa? Prima di tutto la riduciamo nella forma `{A(x)} / {B(x)} ><0`, quindi: `{x-3} / {x+4} +1>0 iff {x-3+x+4} / {x+4}>0` senza togliere il denomiantore!! Facciamo i calcoli: `{2x+1} / {x+4}>0`. Fatto ciò, entriamo nel cuore del problema.

Osserviamo prima di tutto che la frazione è un prodotto `{A(x)}*1 /{B(x)}` ed in quanto tale ne assume il segno. Ricordiamo, infatti, che il prodotto di fattori concordi (stesso segno) è positivo e che il prodotto di fattori discordi (segni diversi) è negativo. Perciò, per facilitarci il compito, studiamo separatemente numeratore (N) e denominatore (D) e successivamente li “moltiplichiamo” per studiare la frazione intera.

`N=2x+1>0 => x>- 1 / 2` e ` D=x+4>0 => x>-4`.

Riportando i risultati ottenuti su un grafico che mostra il segno (dove positivo e dove negativo) dei singoli fattori,

senza difficoltà si vede subito anche il segno della frazione:

 

dovendo essere positiva, nel grafico consideriamo gli intervalli in cui il prodotto del segno di N e D è positivo (segno +), cioè x<-4 e x> -1/2.

 

 

 

 

Esempi

`{2-x} / {5-2x}<0`

`N=2-x>0 => x<2` e `D=5-2x>0 => x<5 /2`, facciamo il grafico:

poichè la frazione deve essere negativa, l’intervallo da considerare è quello in cui c’è il segno “-“, `2<x<5 / 2`

 

 

 

 

 

`{x-3} /{2x} <= {x-1} /x` facendo il mcm (=2), trasportando i termini e sommandoli otteniamo `{-x-1} / 2x <= 0`.
`N=-x-1>=0 => x <= 0` e `D=x>0` (N.B. qui non possiamo includere l’uguaglianza perchè siamo a denominatore e sappiamo che non deve annullarsi):

la frazione deve essere negativa, perciò le soluzioni vanno prese negli intervalli col segno meno, `x<= -1` oppure `x>0`.

 

 

 

 

`{x^2+2} / {2x-1}>=0`
`N=x^2+2>=0 => x^2>=-2` Ooops, ci siamo trovati l’incognita di 2° grado, ma nientet paura; si risolve con semplici osservazioni: qualunque sia x il suo quadrato è sempre positivo, quindi sempre maggiore di un numero negativo. Pertanto il numeratore è sempre positivo, cioè sul grafico avremmo una linea continua ovunque ed il segno della frazione dipende solo dal segno del denominatore:

`D=2x-1>0 => x>1 / 2`. Questa è la soluzione. Finito!