Equazioni e Disequazioni irrazionali

In questo articolo parliamo sia di equazioni che di disequazioni irrazionali, perché le considerazioni che faremo per le equazioni serviranno per comprendere meglio quanto accade nelle disequazioni. Questo caso è quello in cui non sempre l’intuito è vantaggioso. Perché? Perchè è facile credere che se dobbiamo risolvere `sqrt(x-1)=x` basta elevare semplicemente al quadrato entrambi i membri dell’equazione.
 

Equazioni irrazionali

Un’equazione si dice irrazionale quando l’incognita compare sotto radice.

Si possono presentare vari casi.

1. Un primo caso semplice è il seguente: `sqrt(f(x))=k`, dove k rappresenta un numero qualsiasi.

   Ad esempio: `sqrt(3x-1)=3` che si risolve elevando al quadrato entrambi i membri dell’equazione, perchè la

   radice quadrata si elimina con l’elevamento al quadrato: 3x-1=9 => x=10/3.
    

2. Un altro caso è quello in cui oltre alla funzione sotto radice, ce n’è un’altra: `sqrt(x+4) +7=2x`.

   Occorre prima isolare la radice, quindi si ha `sqrt(x+4)=2x-7`, e poi elevare al quadrato i membri dell’equazione, quindi `x+4=4x^2-28x+49` che porta all’equazione `4x^2-29x+45=0`, le cui soluzioni sono `x_1=9/4` e ` x_2=5`. A questo punto non possiamo fermarci, perché dobbiamo verificare che tali soluzioni soddisfino

   effettivamente l’equazione; dunque sostituiamo (come una prova) `x_1` e ` x_2`: la soluzione `x_2` è accettabile,

   mentre `x_1` no: infatti, `sqrt(5+4)=10-7` cioè 3=3. Invece, `sqrt(9/4+4)!=2*9/4-7`.

   Sussiste, infatti, unteorema: Elevando al quadrato (o anche a qualunque potenza ennesima, con n>1) entrambi i membri dell’equazione si ottiene un’altra equazione che ammette le soluzioni dell’equazione di partenza, ma ne ammette altre che chiameremo estranee o non accettabili.

   In virtù del teorema ora enunciato, possiamo dedurre un metodo per risolevere le equazioni del tipo `sqrt(f(x))=g(x)`; infatti, basta impostare il sistema misto (poichè compaiono una equazione ed una disequazione):

   `{(f(x)=[g(x)]^2),(g(x)>=0):}`, dove l’equazione è la risolvente della irrazionale e la disequazione rappresenta la condizione a cui devono soddisfare le soluzioni dell’equazioni per poter essere accettate come soluzioni.

   E’ importante notare che sarebbe necessario verificare che si possa estrarre la radice quadrata, imponendo cioè `f(x)>=0`, ma ciò risulta implicito nell’equazione risolvente, perchè questa – che ha un quadrato al secondo membro – è soddisfatta solo e solo se è anche `f(x)>=0`.
    

3. Un ulteriore caso è il seguente: `sqrt(f(x))=sqrt(g(x))`.

   Per risolvere questa tipologia di equazioni irrazionali, ora è necessario imporre la condizione di esistenza delle radici, poi elevare tutto al quadrato.

   Perciò: `{(f(x)=g(x)),(f(x)>=0),(g(x)>=0):}`.

Esempi:

Risolvere: `sqrt(x^2-x-12)=sqrt(x-9)`

Si ha `{(x^2-x-12=x-9),(x^2-x-12>=0),(x-9>=0):}`
Le condizioni di esistenza (in seguito C.E.) portano a `x>=9`, mentre l’equazione risolvente è` x^2-2x-3=0`, le cui soluzioni sono `x_1=-1` ed `x_2=3`, poichè nessuna delle due è maggiore o uguale a 9, l’equazione è impossibile.

Risolvere: `sqrt(x+1)-sqrt(x+6)=-1`

Si ha `{(x+1=(sqrt(x+6)-1)^2),(x+1>=0),(x+6>=0):}<=>{(sqrt(x+6)=3),(x>=-1):}<=>{(x=3),(x>=-1):}`.
La soluzione finale è 3 che è maggiore di -1, quindi accettabile.

Notiamo che abbiamo dovuto ripetere il procedimento due volte, poichè la prima volta è venuta fuori un’altra radice dal doppio prodotto del qudrato del binomio, e la seconda ci ha portato alla soluzione finale.

Se abbiamo 3 radicali, si isola una radice portando le altre al secondo membro e poi si procede come sopra.

Facciamo un esempio con un radicale doppio:

Risolvere: `sqrt(x+sqrt(x-2))=sqrt(3x-5)`

`{(x-2>=0),(3x-5>=0),(x+sqrt(x-2)=3x-5):}<=>{(x>=2),(x>=5/2),(x-2=(3x-x-5)^2):}<=>{(4x^2-21x+27=0), (x>=5/2):}`

Le soluzioni dell’equazione sono ` x_1=9/7` ed `x_2=3`, ma solo `3>5/2` quindi è la sola accettabile.

Disequazioni irrazionali

Studieremo i casi

1. `sqrt(f(x))<g(x)` 
2. `sqrt(f(x))>g(x)`.

1) Con analoghe osservazioni fatte per le equazioni, si perviene al sistema misto: `{(f(x)>=0),(g(x)>0),(f(x)<[g(x)]^2):}`

2) I sistemi che si ottengono sono 2: `{(f(x)>=0),(g(x)<0):}` U ` {(g(x)>=0),(f(x)>[g(x)]^2):}`

questo perchè  per la realtà del radicale (C.E.) deve aversi `f(x)>=0`; inoltre la disequazione è soddisfatta certamente quando `g(x)<0`. Invece, se `g(x)>=0 `elevando al quadrato si ha `f(x)>[g(x)]^2` che implica tacitamente l’essere `f(x)>=0`.

Esempi

Risolvere: `sqrt(x^2-4)<x-1`

Rientra nel 1° caso, quindi otteniamo il sistema: `{(x^2-4>=0),(x-1>0),(x^2-4<x^2-2x+1):}` che equivale a

`{((x-2)(x+2)>=0),(x>1),(2x<5):} <=> {(x<-2 ; x>2),(x>1),(x<5/2):}` da cui otteniamo la soluzione `2<=x<5/2`, come

si vede dal grafico:

 

Risolvere: `sqrt(x^2+3x-10)>x-2`

Rientra nel 2° caso, quindi abbiamo `{(x^2+3x-10>=0),(x-2<0):}`  U `{(x-2>=0),(x^2+3x-10>=x^2-4x+4):}`

Risolviamo contemporaneamente i due sistemi: `{(x<-5;x>2),(x<2):}`  U  `{(x>=2),(x>=2):}`.

Quindi le soluzioni sono `x<-5` U ` x>=2`