Teorema di Rouche’-Capelli – Esercizi

Girando un po’ in rete, soprattutti tra i siti in cui gli studenti chiedono aiuto per i compiti, ho notato che molti hanno difficoltà a calcolare il rango di matrici (soprattutto rettangolari) e di conseguenza ad applicare il teorema di Rouche’-Capelli.

Anticipo che mi dedicherò agli esercizi, mentre le nozioni di rango e minore saranno date alla fine in forma sintetica.

Teorema: Un sistema di equazioni lineari ammette soluzioni (una o infinite) se e solo se la matrice dei coefficienti e la matrice completa hanno lo stesso rango.

Osserviamo subito che il teorema assicura solo l’esistenza delle soluzioni in caso di compatibilità, ma non offre metodi per calcolarle.

Come si determina il rango di una matrice?

Partiamo da una matrice quadrata 3×3:

`A= [[3,5,7],[1,2,3],[1,3,5]]` , essa può avere al massimo rango tre che è l’ordine della matrice e lo è se il suo determinante è diverso da zero. Invece, come si può vedere, detA=0, quindi il rango non può valere 3; cerchiamo una sottomatrice 2×2 e verifichiamo se il determinante è diverso da zero.
Consideriamo il minore `det[[3,5],[1,2]]=6-5=1!=0`, quindi il rango è 2.

Ora, consideriamo una matrice rettangolare 3×4:

`A=[[3,2,4,1],[9,6,12,3],[6,4,8,2]]`. Il rango può essere al massimo 3 che è il minimo tra il numero di righe ed il numero di colonne. Osservando che la seconda e terza riga sono multiple della prima, si conclude facilmente che tutti i minori di ordine 2 e 3 sono nulli, mentre i minori di ordine 1 (gli elementi della matrice) sono non nulli. Pertanto il rango è 1.

Detto questo, vogliamo fare degli esempi pratici, partendo proprio da una matrice rettangolare.

Il sistema da risolvere è il seguente:
`{(3x-y+6z=1),(6x+3y+10z=3):}`

La matrice dei coefficienti è `[[3,-1,6],[6,3,10]]` ed è 2×3 quindi al massimo il rango sarà 2. Per calcolarlo consideriamo il minore formato dalle prime due colonne: `det[[3,-1],[6,3]]=9+6=15!=0`; pertanto il rango è 2.
La matrice completa è `[[3,-1,6,1],[6,3,10,3]]` anch’essa rettangolare 2×4 e anch’essa può avere al massimo rango 2, come effettivamente è. Dunque il sistema è compatibile per il teorema di R-C e ciò significa che esiste la soluzione.

Quante soluzioni?

Osserviamo che ci sono più incognite (3) che equazioni (2), quindi il sistema ammette “infinito a 1” soluzioni (`oo^(3-2)`), cioè, un’incognita diventa parametro e le altre saranno determinate in sua funzione.
 

Quale incognita diventa parametro?

Visto che il determinante non nullo è formato dai coefficienti delle x e delle y, a z possiamo dare valori arbitrari, ottenendo:

`{(3x-y=1-6z),(6x+3y=3-10z):}` che possiamo risolvere con la regola di Cramer, ottenendo `x={-28z+6}/15, y={6z+3}/15, z=z`. Così, attribuemdo a z un valore ad arbitrio, otteniamo tutte le soluzioni.

Affrontiamo anche il caso in cui ci siano più equazioni che incognite.

`{(2x+y=13),(8x-2y=-11),(3x-y=2),(4x-3y=-9):}`

Matrice dei coefficienti: `[[2,1],[1,-2],[3,-1],[4,-3]]`; il minore `det[[1,-2],[3,-1]]=5!=0` quindi il rango è 2.

Matrice completa: `[[2,1,13],[1,-2,-11],[3,-1,2],[4,-3,-9]]`; i minori di ordine 3 sono nulli quindi il rango potrebbe essere 2, com’è. C’è compatibilita’ in base al teorema e dobbiamo determinare le soluzioni.

Bastano 2 equazioni (rango=2) e scegliamo la seconda e la terza che sono quelle usate per calcolare il rango della matrice incompleta:

`{(x-2y=-11),(3x-y=2):}` che risolviamo con Cramer, ottenendo: `x={det[[-11,-2],[2,-1]]}/5=3, y={det[[1,-11],[3,2]]}/5=7`.

Riassumendo:
dato un sistema lineare compatibile in m equazioni ed n incognite, la cui matrice dei coefficienti abbia rango k:

1. si considerano solo k delle m equazioni in modo che il rango della matrice dei coefficienti sia k;
2. si considerano k incognite in modo che il determinante dei loro coefficienti sia non nullo e alle altre n-k incognite si attribuiscono valori arbitrari;
3. si perviene ad un sistema di k equazioni in k incognite che si risolve con la regola di Cramer:

Se k<n (k incognite ed n equazioni) il sistema amette `oo^{n-k} soluzioni`, potendo attribuire ad n-k incognite valori ad arbitrio;
se k=n il sistema ammette una sola soluzione. Non può essere k>n per definizione di rango.

Definizioni:

Definizione 1: Si chiama minore di ordine p estratto dalla matrice A un qualunque determinante d’ordine p, ottenuto eliminando gli elementi comuni a p righe e p colonne della matrice.

Definizione 2: Si chiama rango o caratteristica di una matrice i cui elementi non siano tutti nulli (in tal caso il rango è zero) l’ordine massimo di minori non nulli da essa estraibili.
Cioè, k è il rango di A se in A c’è almeno un minore di ordien k, diverso da zero; oppure se tutti i suoi minori di ordine maggiore di k sono nulli.