Studiamo la funzione `y=x^2 lnx`.
La parte della funzione che dobbiamo analizzare per il suo C.E. è quella del logaritmo naturale: come tutte le funzioni logaritmiche dobbiamo porre il suo argomento strettamente maggiore di zero:
C.E. `x>0`.
Positività: `x^2` è sempre positivo quindi incide sulla positività dell’intera funzione sono il logaritmo: `lnx>0 => x>1 ` e di conseguenza sarà negativo tra 0 ed 1.
Finora la situazione è la seguente:
Intersezioni con gli assi: poichè la funzione è definita per le x strettamente positive, non possiamo intersecare con x=0 (asse y), ma andiamo a cercare solo l’intersezione eventuale con l’asse x, cioè ponendo y=0. Ciò accade quando l’argomento è uguale a 1: `x=1` (Ricordiamo che `lnx=0 x=e^0=1`). Così, il punto di intersezione è solo (1,0).
La funzione non presenta simmetrie.
Asintoti: ricordiamo che la funzione non definita a sinistra di 0, perciò non calcoleremo il limite per x che tende a meno infinito!
`lim_(x->+oo)(x^2 lnx)=+oo` non ci sono asintoti orizzontali; `lim_(x->+oo)(x^2 lnx)/x=+oo` non ci sono asintoti obliqui; `lim_(x->0^+)(x^2 lnx)=0`. in definitiva la funzione non possiede asintoti.
Massimi, minimi, flessi: la derivata prima della funzione è `y’=2xlnx+x^2 /x=x(2lnx+1)`. Essa è uguale a 0 o per x=0, che non è accettabile perchè non appartiene al suo C.E. oppure per `2lnx+1=0`, ovvero per `lnx=-1/2 x=e^(-1/2)=1/sqrt e`. Poichè y’ è negativa tra `0 ed 1/sqrt e` e positiva da `1/sqrt e` in poi, in tale punto presenta un minimo relativo proprio.
Poi la derivata seconda `y”= 2lnx+3` è negativa per `x<1/(e sqrt e)` e positiva per `x>1/(e sqrt e)1` pertanto volge la concavità verso il basso nell’intervallo `(0,1/(e sqrte))` e verso l’alto nell’intervallo `(1/(esqrte),+oo)` e dunque il punto di ascissa `1/(e sqrte)` è un flesso.
Il grafico della funzione è il seguente:
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