In questo articolo vogliamo dare alcuni esempi di risoluzione di problemi con l’uso delle derivate.
Esercizio 1
Scrivere l’equazione della tangente all’iperbole y=4/x nel punto di ascissa x=`alpha`, (`alpha>0`). Determinare `alpha` in modo che la lunghezza del segmento intercettato dagli assi sulla tangente sia minima.
Ovviamente la prima parte del problema può avere la classica impostazione della geometria analitica (scrivere il fascio di rette ed imporre che il discriminante del sistema sia nullo) ma qui vogliamo abituarci a ragionare con i metodi dell’analisi.
Sappiamo che l’equazione della retta tangente in un punto di una curva è data dall’equazione: `y-y_0 =y'(x_0) (x-x_0)` , dove `(x_0,y_0)` è il punto dato.
Osserviamo che manca ancora l’ordinata, ma la calcoliamo sostituendo all’interno dell’iperpobe `x=alpha`:
`y=4/alpha` , quindi il punto P ha coordinate `P(alpha, 4/alpha)`.
Calcoliamo e valutiamo la derivata prima della funzione (iperbole) in tale punto: `y'(alpha)= -4/{alpha}^2.
Quindi, l’equazione della retta tangente è: `y-4/alpha = -4/{alpha}^2 (x-alpha)` che diventa: `y= -4/{alpha}^2 x+8/alpha`.
Poichè dobbiamo calcolare il segmento di cui minimizzare la lunghezza, occorrono prima le coordinate dei punti di intersezione della retta tangente con gli assi coordinati:
Ponendo x=0 otteniamo `y=8/alpha`; ponendo y=0 otteniamo `x=2 alpha`.
La lunghezza del segmento è data dalla distanza dei due punti:
`sqrt {4 alpha^2 + 64/ alpha^2}= sqrt {{4 alpha^4 +64} / alpha^2}`.
Questa è la nuova funzione da considerare e di cui calcolare la derivata prima:
`f'(alpha) = {16 alpha^5 – 8 alpha^5 -128 alpha} / {2 alpha^4 sqrt {{4 alpha^4 +64}/ alpha^2} }=0`.
Ovviamente, essendo una frazione poniamo il numeratore uguale a zero:
`8 alpha ( alpha^4 -16)=0 ` che porta a due soluzioni: ` alpha=0` non accettabile poichè deve essere `alpha>0`; l’altra `alpha^4=16` da cui `alpha=2`.
In definitiva, il punto deve avere coordinate (2, 2).
Esercizio 2
In un cerchio di raggio r e centro O si conduca una corda AB perpendicolare ad diametro Cd e si congiungano le estrimità A e B con le estremità C e D del diametro. Si chiede il massimo delle differenze delle aree dei due triangoli aventi la corda comune per base.
Chiamiamo x il segmento OH, così
DH=x+r e
CH= CD-HD= 2r-x-r=r-x.
Da osservazioni geoemtriche deduciamo che AB=2 AH e che AH= ` sqrt(r^2-x^2)` .
Ricordiamo che l’area del triangolo è il semiprodotto della base e dell’altezza:
Area del triangolo ADB= ` (AB* DH)/2 `
Area del triangolo ACB= `(AB*CH)/2 `
Per le posizioni fatte si ha rispettivamente per le aree:
` sqrt (r^2 -x^2)*(x+r)` e `sqrt(r^2 -x^2)*(r-x)`.
La differenza delle due aree risulta:
` sqrt(r^2 -x^2)[x+r -r+x] = 2x*sqrt(r^2 -x^2)`
Calcoliamo la derivata prima di questa funzione in x e poniamo uguale a zero:
`A'(x)={2(r^2 -x^2)-2 x^2}/{sqrt(r^2 -x^2)}`.
Solo il numeratore può annullarsi, perciò:
` 2r^2 -2x^2 -2 x^2=0`da cui: ` x^2 = r^2 /2` e `x=r/2 sqrt 2` (prendiamo solo la misura positiva, ovviamente).
Concludendo, la differenza delle aree è massima quando il segmento OH è pari a `r/2 sqrt 2`.
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