E’ interessante studiare la posizione che una retta può assumere rispetto ad una circonferenza, o viceversa.
Per fare ciò è sufficiente risolvere il sistema formato dalle due equazioni, quella della retta e quella della circonferenza.
Sia `Delta` il discriminante dell’equazione risolvente il sistema; se risulta:
- `Delta`>0 la retta è secante la circonferenza
- `Delta`=0 la retta è tangente alla circonferenza
- `Delta`<0 la retta è esterna alla circonferenza
Rispettivamente:
- la distanza del centro della circonferenza dalla retta è minore del raggio
- la distanza del centro della circonferenza dalla retta è ugauale al raggio
- la distanza del centro della circonferenza dalla retta è maggiore del raggio
Il caso più interessante è determinare le tangenti ad una circonferenza, condotte da un punto P che può essere esterno alla circonferenza o appartenervi.
Nel primo caso scriveremo l’equazione di una generica retta uscente da P ed imporremo che la sua distanza dal centro della circonfernza sia uguale al raggio.
Esempio ( P esterno):
Determinare l’equazione delle rette tangenti alla circonferenza `x^2`+`y^2`+`4x`–`2y`–`15`=`0` passanti per il punto A(4,-1).
Essendo A esterno alla circonferenza (le sue coordinate non sodddisfano l’equazione della circonferenza) da esso escono due tangenti.
Calcoliamo il centro ed il raggio, usando le formule scritte nella parte prima: C(-2,1) e `r= sqrt(20)`.
Le tangenti avranno equazioni del tipo `y+1=m(x-4)`. Calcoliamo la distanza di tali rette dal centro C ed imponiamo che sia uguale al raggio:
`|1+1-m(-2-4)| /sqrt(1+m^2)=sqrt(20)` `<=>` ` (2+6m)^2=20(1+m)` ed, elevando al quadrato ed ordinando, abbiamo:
`2m^2+3m-2=0` da cui ricaviamo `m=-2` ed `m= – 1/2`.
Esempio (P appartenente alla circonferenza):
Il metodo di seguito descritto è valido per qualsiasi conica.
- si forma il sistema tra l’equazione della circonferenza e quella della generica retta per P
- si trova l’equazione di 2° grado risolvente il sistema e si impone che il delta sia uguale a zero
- si avrà in genere un’equazione di 2° grado da cui ricavare i coefficienti angolari m1 ed m2 delle tangenti cercate [tranne quando una delle tangenti è parallela all’asse y, caso in cui si ha una equazione di 1° grado in m]
Generica retta per P(x1,y1): y-y1=m(x-x1)
P`in`circonferenza: x12+y12+ax1+by1+c=0 ed affinchè questa sia tangente alla circonferenza basta che sia perpendicolare al diametro passante per P.
Il coefficiente angolare del diametro PC è: `(Delta(y))/(Delta(x))`=`(y_1 – beta)/(x_1 – alfa) `
`=>` `m=-(x_1-alfa)/(y_1-beta)`.
Ricordando che `alfa= -a/2` e `beta= -b/2` si ha: `(y-y_1)(y_1-beta)+(x-x_1)(x_1-alfa)=0`.
Ed infine: `xx_1+yy_1+a(x+x_1)/2+b(y+y_1)/2+c=0` nota come regola dello sdoppiamento.
*** Qualche esercizio ***
- Da P(0;3) condurre le tangenti alla circonferenza con il centro nell’origine degli assi e di raggio 2.
L’equazione della circonferenza, avendo il centro (0,0) ed il raggio, 2 è `(x-x_C)^2`+`(y-y_C)^2`=4 `=>` `x^2`+`y^2`=4
mentre l’equazione di una generica retta passante per P è `y-3=mx` `=>` y=mx+3 (*)
Mettiamo a sistema tali equazioni:
`{(x^2+y^2=4),(y=mx+3):}`
L’equazione risolvente tale sistema è data da `x^2+m^2x^2+9+6mx-4=0`
cioè: `x^2(1+m^2)+6mx+5=0`
imponiamo che il delta di tale equazione sia uguale a zero (condizione di tangenza): `Delta/4 =9m^2-5-5m^2=0`
quindi: `4m^2-5=0` da cui ricaviamo `m=sqrt(5)/2` ed `m= – sqrt(5)/2`.
Pertanto, sostituendo i valori trovati di m nella (*) otteniamo le equazioni delle due tangenti, che sono:
t1: `y=sqrt(5)/2x+3` e t2: `y=-sqrt(5)/2x+3`.
- Scrivere l’equazione della circonferenza di centro C(1,1) e raggio `sqrt(2)`. Verificare che la retta di equazione y=x+2 è tangente alla circonferenza. Determinare le coordinate del punto di tangenza.
La circonferenza cercata ha equazione (x-1)2+(y-1)2=2.
Verifichiamo che la retta data è tangente alla circonferenza, verificando che il delta dell’ equazione risolvente sia uguale a zero:`{((x-1)^2+(y-1)^2=2),(y=x+2):}`
L’equazione risolvente è: `2x^2=0` il cui delta evidentemente è uguale a zero! Ora, per determinare il punto di tangenza dobbiamo risolvere l’equazione.
x=0 `=>` y=2. Pertanto le coordinate del punto sono(0,2).
- Data la circonferenza x2+y2 -2x +y -1=0, verificare che il punto P(1;-2) sta sulla circonferenza e scrivere l’equazionedella tangente alla circonferenza nel punto P.
Ricordiamo che un punto appartiene ad una curva se le sue coordinate soddisfano l’equazione della curva data, nel nostro caso della circonferenza. Verifichiamo:
`1^2+(-2)^2-2*1+1*(-2)-1=0` `<=>` 1+4-2-2-1=0 `<=>` 0=0 quindi P appartiene alla circonferenza.
[N.B. la verifica può essere fatta anche in base alla distanza di P dal centro della circonferenza:
`d(P,C)=r` `=>` `P in` circonferenza
`d(P,C)<r` `=>` P è interno alla circonferenza
`d(P,C)>r` `=>` P è esterno alla circonferenza ]Poichè il punto appartiene alla curva, per determinare la tangente condotta da tale punto possiamo utilizzare la regola dello sdoppiamento:
`x*1+y*(-2)-2*(x+1)/2+1*(y-2)/2-1=0` e quindi t: `y=-2`.
-
Scrivere l’equazione della circonferenza di centro C(3,-1) e tangente all’asse delle y.
L’equazione generica della circonferenza é: (x-xC)2+(y-yC)2=r2
Le coordinate del centro sono note, ma inoltre sappiamo che è tangente all’asse delle y, quindi conosciamo anche il raggio, dato dalla distanza di C dall’asse y, cioè 3 (la sua ascissa).Allora è semplice: C(3,-1) r=3 `=>` (x-3)2+(y+1)2=32 `=>` x2+y2-6x+2y+1=0
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