La parabola intesa come conica si ottiene dall’intersezione di una superficie conica con un piano che sia parallelo alla retta generatrice della superficie stessa.
Equivalentemente, la parabola è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso, detto fuoco e da una retta fissa, non passante per il fuoco, detta direttrice (d).
In base alla definizione di parabola possiamo passare alla sua equazione canonica:
sia P(x,y) un punto generico del piano, d la direttrice, F il fuoco. Allora:
`bar(PF) = d(P,d) = bar(PH)`
Sia `bar(FQ)` la distanza del fuoco dalla direttrice e sia `bar(FQ) = 2p`; allora le coordinate del fuoco sono F(0,p).
Perciò, `bar(PF) = sqrt(x^2+(y-p)^2)` e `bar(PH)= |y+p|` (poichè P e H hanno la stessa ascissa).
Uguagliando si avrà: `sqrt(x^2+(y-p)^2) = |y+p|`.
Con opportuni calcoli si perviene all’espressione: `y=1/(4p) x^2`. Posto `a = 1/(4p)` diventa: y=ax2 che è l’equazione di una parabola passante
per l’origine degli assi, avente l’asse y come asse di simmetria.
Notoriamente, l’equazione più generale della parabola è
`y = ax^2+bx+c`
il cui vertice ha coordinate `V= (-b/(2a) , -Delta/(4a))
il cui asse di simmetria ha equazione `x= -b/(2a)` (è una retta || asse y)
il cui fuoco ha coordinate `F = (-b/(2a) , (1-Delta)/(4a))`
la cui direttrice ha equazione `y = -1/(4a) – Delta/(4a)` (è una retta || asse x)
Se il coefficiente `a>0` la parabola volge la concavità verso l’alto e perciò il vertive è il suo punto con minima ordinata.
Se il coefficiente `a<0` la parabola volge la concavità verso il basso e pertanto il vertice è il suo punto con massima ordinata.
Inoltre, minore sarà |a| , maggiore risulterà l’apertura della parabola.
Osservazione:
la parabola può anche trovarsi “orizzontalmente” nel piano; per cui dovremo “scambiare” gli assi coordinati e di conseguenza le ascisse con le ordinate.
Ad esempio, se la parabola ha l’asse di simmetria parallelo all’asse delle ascisse, allora il suo vertice sarà
`V = – Delta/(4a) , -b/(2a)` ed il suo asse di simmetria avrà equazione `y = -b/(2a)` e così via per le altre formule.
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