Esercizi su retta e circonferenza

Svolgeremo tre tipologie di problemi sui fasci di circonferenze.

• Esercizio 1

Scrivere l’equazione della circonferenza di raggio 3 il cui centro appartiene alla retta di equazione `3x-2y=0` e tangente all’asse x.

Scriviamo l’equazione di una generica circonferenza: `x^2+y^2+ax+by+c=0` abbiamo già visto che per essere determinata è necessario trovare i

coefficienti a, b, c e che dobbiamo farlo attraverso le informazioni che abbiamo

1. conosciamo il raggio: `r=3` e dalla formula per calcolarlo ricaviamo `r^2=a^2/4+b^2/4-c=9`
    
2. il centro deve appartenere alla retta `3x-2y=0`quindi le sue coordinate `(-a/2 , -b/2) `devono soddisfare tale equazione,

   perciò `-3/2 *a+b=0`
    

3. la circonferenza deve essere tangente all’asse x, che significa dovere imporre uguale a zero il delta dell’equazione risolvente il sistema

   tra l’equazione della circonferenza generica e l’equazione dell’asse x:

   `{(x^2+y^2+ax+by+c=0),(y=0):}`

   risolvendo il sistema abbiano `x^2+ax+c=0` ed imponiamo `Delta=0` cioè `a^2-4c=0`

Dunque, abbiamo trovato le tre condizioni che ci permettono di risolvere le equazioni nelle tre incognita, a, b, c, che raccogliamo sotto:

`{(r^2=a^2/4+b^2/4-c=9),(-3/2 *a+b=0),(a^2-4c=0):}`

risolvendo abbiamo: `b=3/2*a ;   c=a^2/4 ;   a^2=16   =>  a_1=-4`    e    `a_2=4`

Per `a=-4 => b= -6 , c=4` quindi la circonferenza `x^2+y^2-4x-6y+4=0`

Per `a=4 => b= 6 , c= 4` quindi la circonferenza `x^2+y^2+4x+6y+4=0`.
 

• Esercizio 2

Scrivere l’equazione della circonferenza tangente ad entrambi gli assi e passante per il punto P(1,2).

Scriveremo l’equazione nella forma `(x-alpha)^2+(y-beta)^2=r^2`

Poichè la circonferenza è tangente ad entrambi gli assi, la distanza del centro dall’asse x e dall’asse y deve essere pari al raggio; inoltre il

centro ha coordinate del tipo `(alpha, alpha)`. Dunque la nostra generica equazione assume la forma `(x-alpha)^2+(y-alpha)^2= alpha^2`.

Inoltre `r= alpha` ma anche `r^2= bar(PC)^2` dovendo passare per il punto P.

Con queste informazioni possiamo, perciò, ricavare `alpha` e quindi saremo in grado di scrivere l’equazione cercata:

`(1-alpha)^2+(2-alpha)^2= alpha^2`

`alpha^2-6alpha+5=0` le cui soluzioni sono `alpha_1=5` ed `alpha_2=1` . Perciò avremo le due circonferenze:

`(x-5)^2+(y-5)^2= 25` e `(x-1)^2+(y-1)^2= 1`.

 

• Esercizio 3

Scrivere l’equazione della circonferenza passante per A(-2, 5) , B(0, 5) e tangente alla retta t: x+y-1=0.

Facciaomo qualche considerazione.

1. sia `C(alpha, beta)`; per definizione di circonferenza come luogo geometrico sappiamo che `bar(CA)^2 = bar(CB)^2`
    
2. dovendo essere tangente alla retta t, la distanza del centro da t deve essere ugaule al raggio `d=d(C,t) = r`

Ecco trovate le informazioni che ci permettono di andare avanti:

`{(bar(CA)^2 = bar(CB)^2),(d^2=bar(CB)^2):}  `<=>`  {((alpha+2)^2+(beta-5)^2=alpha^2+(beta-5)^2),(alpha^2+(beta-5)^2=((alpha+beta-1)^2)/2):}

dalla prima ricaviamo `alpha = -1` che sostituito nella seconda ci porta a `beta^2-16beta-48=0`  da cui  `beta_1=4` e `beta_2=12`

Allora: `C_1(-1, 4) => (r_1)^2=1+1= 2 => (x+1)^2+(y-4)^2=2`

e `C_2(-1, 12) => (r_2)^2= 1+49=50 => (x+1)^2+(y-12)^2=50`.