Esercizi sulla parabola

Vogliamo proporre alcune tipologie di esercizi sulla parabola, al fine di comprendere come si affrontano tali problemi.

• Esercizio 1
   

Data la parabola `y=ax^2+2(a-1)x+1`  determinare a affinchè il vertice appartenga alla bisettrice del 1° e 3° quadrante.

Poichè il vertice deve appartenere alla bisettrice del 1° e 3° quadrante che ha equazione x=y, le coordinate devono essere uguali.

Sappiamo che le coordinate del vertice sono `( -b/(2a), -Delta/(4a))` e per soddisfare la richiesta devono essere uguali.

Avremo, dunque, `-(2(a-1))/(2a) = -(4(a-1)^2-4a)/(4a)` , quindi

`4(a-1) = 4(a-1)^2-4a`  svolgendo i calcoli perveniamo a `-a^2+4a-2=0   <=> a^2-4a+2=0`

Risolviamo: `a=2+-sqrt(4-2)= 2+-sqrt2`.

Per tali valori di a il vertice della parabola apparterrà alla bisettrice data.

 

• Esercizio 2

Data la parabola `x=y^2/(2p)` determinare p in modo che la parabola passi per il punto P(6,6).

Osserviamo innanzitutto che la parabola ha l’asse x come asse di simmetria.

Affinchè la parabola passi per P basta che le sue coordinate soddisfino l’equazione della parabola; perciò sostituiamo le coordinate di P e

troveremo il valore del parametro: `6=6^2/(2p)  <=> 1=3/p  => p=3`.

 

• Esercizio 3

Determinare Vertice, Fuoco e direttrice della parabola `y^2=8x`.

Prima di tutto riscriviamo l’equazione in forma canonica: `x=y^2/8` e deduciamo che l’asse di simmetria  è l’asse x. Ora, in base alle formule,

possiamo trovare le coordinate del vertice e del fuoco e l’equazione della direttrice.

`V( -Delta/(4a), -b/(2a)) = (0,0)` essendo nulli sia b che c

`F((1-Delta)/(4a), -b/(2a)) = (2,0)`essendo `(1-Delta)/(4a) = 1/(1/2)`

`d: x=-2  <=> x+2=0`.

 

• Esercizio 4

Determinare l’equazione della parabola di vertice (0,0) e fuoco (4,0).

Osserviamo che essendo `V_y = F_y` deduciamo che la parabola ha per asse di simmetria l’asse delle x.

Dalle formule per ricavare vertice e fuoco di una parabola con asse simmetria parallelo all’asse x, otteniamo il sistema:

`{(-b/(2a)=0),(-Delta/(4a)=0), ((1-Delta)/(4a)=4):}`  quindi  ` {(b=0),(Delta=0),(1-Delta=16a):}`  da cui `{(b=0), (Delta=0),(1=16a):}`  per cui in

definitiva `{(b=0),(c=0),(a=1/16):}`.

L’equazione cercata è `x=y^2/16.

 

• Esercizio 5

Dire per quali valori di m la retta y=mx+q è esterna alla parabola `y^2=2px`.

– Approfittiamo di questo esercizio per evidenziare che anche per la parabola possiamo parlare di posiszione reciproca con una data retta.

La retta sarà esterna alla parabola se il delta dell’equazione risolvente il sistema sarà minore di zero; avranno in comune due punti distinti

se il delta sarà maggiore di zero; un solo punto in comune – la retta è tangente alla parabola – se il delta sarà uguale a zero.

Risolviamo il sistema `{(y=mx+q),(y^2=2px):}

Otteniamo l’equazione `m^2x^2+2x(mq-p)+q^2=0` e dovendo la retta risultare esterna, dobbiamo porre `Delta<0`:

`Delta/4=(mq-p)^2-m^2q^2<0   <=>   p^2-2mpq<0   <=> p^2<2mpq   <=> 2mq>p   => m>p/(2q)`.

 

• Esercizio 6

Data la parabola `y=x^2-8x+5` condurre una retta parallela all’asse x in modo che la corda intercettata dalla parabola su questa retta sia lunga 4.

Una generica retta parallela all’asse x avrà equazione y=k. Dobbiamo determinare i punti di intersezione di tale retta con la parabola ed
imporre che la loro distanza sia 4.

`{(y=k),(y=x^2-8x+5):}   => x^2-8x+(5-k)=0`. Risolvendo troviamo: `x_1 , x_2= 4+-sqrt(16-5+k) = 4+-sqrt(11+k)`.

I punti di intersezione saranno `A(4-sqrt(11+k), k)   e   B(4+sqrt(11+k), k)`. Calcoliamo `bar(AB)` ed imponiamo che sia ugaule a 4:

`bar(AB) = |4-sqrt(11+k)-4-sqrt(11+k)| = 4   <=>   |-2sqrt(11+k)| = 4   <=> sqrt(11+k) = 2   <=> 11+k=4   => k = -7`.

La retta che intercetta sulla parabola data una corda lunga 4 è `y=-7`.