Fasci di rette

Fascio proprio

Si chiama fascio proprio di rette l’insieme di tutte e sole le rette di un piano passanto per uno stesso punto, detto centro o sostegno del fascio.

Se `r: ax+by+c=0`  e  `r_1: a_1x+b_1y+c_1=0` sono due generiche rette passanti per un punto P, si può dimostrare (ma ce ne asteniamo) che anche la

loro combinazione lineare passa per P. Quindi il fascio può essere rappresentato dalla combinazione linerae di tali rette:

`l(ax+by+c)+l_1(a_1x+b_1y+c_1)=0` con `l` ed `l_1` due numeri qualunque non entrambi nulli, detti parametri e per `l=0, l_1!=0` si ottiene

l’equazione di `r_1` mentre per `l!=0, l_1=0` quella di r. Se, inoltre, si suppone `l!=0` possiamo porre `t=l_1/l` e l’equazione del fascio si scriverà

come `ax+by+c+t(a_1x+b_1y+c_1)=0` che rappresenta tutte le rette del fascio tranne quella che si ottiene per `l=0, l_1!=0`.

 

*** Qualche esercizio ***

• Si rappresenti il fascio di centro il punto C(2,3).
   

Tra le rette del fascio ci sarà certamente la retta x-2 e la retta y-3, quindi la sua equazione si potrà scrivere come `y-3+t(x-2)` , ma dobbiamo ricordare di aggiungere la retta “oscura” che è proprio x-2.

Il fascio è, pertanto, l’insieme di `y-3+t(x-2)` e `x-2`.

• Determinare il centro del fascio proprio `(3t+1)x-(t-1)y-5t-3=0`.

Il centro, come abbiamo visto, è l’intersezione di tutte le rette del fascio; in particolare delle rette parallele agli assi coordinati, che si ottengono facendo annullare rispettivamente il termine in x ed il termine in y:

`t= -1/3 , t=1`. Sostituendo prima un valore e poi l’altro si ottengono le rette `4y-4=0`  e  `4x-8=0` la cui intersezione ci dà x=2 e y=1.

• Nel fascio di centro A(2,-1) determinare la retta:
  a) passante per il punto(1,2);
  b) che stacca sull’asse x un segmento di misura 3.

a) L’equazione della retta variabile del fascio di centro A è `x-2+t(y+1)=0`. Se deve passare per (1,2) queste coordinate devono soddisfare

l’equazione, quindi sostituiamo: `1-2+t((2+1)=0  =>  t=1/3`. Ora abbiamo il valore di t che sostituito nel fascio ci dà la retta che soddisfa a

questa specifica richiesta: `3x+y-5`.

b) Intersechiamo la retta variabile con l’asse x, cioè sostituiamo y=0; otteniamo un segmento di misura 2-t. Affinchè sia lungo 3, uguagliamo:

`2-t=3  => t=-1`, perciò la retta cercata è `x-y-3=0`.

 

Fascio improprio

Si chiama fascio improprio di rette l’insieme delle rette di un piano parallele ad una retta data (anch’essa apartenente al fascio, ovviamente).

Se la retta generatrice è `ax+by+c=0` il fascio avrà equazione `ax+by+k=0`, in quanto tutte le rette devono avere lo stesso coefficiente angolare mentre cambia solo il  termine noto, k, al variare del quale si ottengono tutte le rette del fascio.

 

 

*** Qualche esercizio ***

• Scrivere l’equazione del fascio generato dalla retta 3x+y-7=0.

Avendo già osservato che cambia solo il termine noto, basta scrivere 3x+y+k=0, perchè sappiamo che al variare di k otteremo tutte le rette parallele alla retta data.

• Scrivere l’equazione della retta appartenente al fascio generato dalla retta r: 3x+5y-9=0 e passante per il punto P(1,-3).

L’equazione del fascio è 3x+5y+k=0, che rappresenta una retta generica del fascio stesso; affinchè tale retta passi per P dobbiamo sostituire

le sue coordinate: `3*1+5*(-3)+k=0  <=>  3-15+k=0  <=> k=12`. Quindi sostituiamo tale valore di k nell’equazione del fascio ed otteniamo la retta cercata di equazione: 3x+5y+12=0.

 

Rette per un punto

Abbiamo già osservato che il fascio proprio di centro `P_1(x_1,y_1)` si può scrivere come `y-y_1=m(x-x_1)` avendo posto `m=-l/l_1`, poichè

appartengono al fascio anche le rette parallele agli assi coordinati, `x-x_1=0,  y-y_1=0`.

Dunque, l’equazione `y-y_1=m(x-x_1)` rappresenta la”formula” per determinare l’equazione di una retta passante per un determinato punto

`(x_1,y_1)`.

Se ad esempio, vogliamo determinare l’equazione della retta di coefficiente angolare m=2 e passante per il punto (2,-1), basta seguire la formula ed otterremo:

`y+1=2(x-2)  <=> 2x-y-3=0`.

 

Retta per un punto e parallela ad una retta data

Come si determina l’equazione di una retta passante per un punto e parallela ad una retta fissata? Se la retta data, r, ha equazione `ax+by+c=0` ed il punto è `P(x_1,y_1)`, la generica retta del fascio improprio individuato da r è `ax+by+k=0`. Imponiamo il passaggio per P:

`ax_1+by_1+k=0 => k=-ax_1-by_1`. Sostituiamo tale k nel fascio ottenendo: `ax+by-ax_1-by_1=0` equivalente a: `a(x-x_1)+b(y-y_1)=0`.

Se la retta r è data in forma esplicita, l’equazione richiesta è: `y-y_1=m(x-x_1)` (poiché 2 rette sono parallele se hanno lo stesso coefficiente angolare, m).

Esempio

• Scrivere l’equazione della retta passante per P(3,-1) e parallela a y=5x-2.

La retta data è in forma esplicita, quindi applichiamo la seconda formula: `y+1=5(x-3)` cioè: `5x-y-16=0`.

• Scrivere l’equazione della retta parallela a 3x-2y+5=0 e passante per P(-1,4).

Applichiamo la prima formula essendo la retta in forma implicita: `3(x+1)-2(y-4)=0` da cui facendo i calcoli si ha: `3x-2y+11=0`.

 

Condizione di perpendicolarità di due rette

Condizione sufficiente affinché due rette siano perpendicolari è che i loro coefficienti angolari siano fra loro reciproci e di segno opposto; equivalentemente che il loro prodotto sia -1.

Esempio

• Proviamo che le rette 4x+3y+5=0 e 3x-4y+1=0 sono perpendicoalri.

Il coefficiente angoalre della prima retta è -4/3 (-a/b) mentre quello della seconda è 3/4 e sono reciproci e di segno contrario. Cioè il loro prodotto vale -1: `-4/3 * 3/4 = -1`.

Importante: Quando le rette hanno la forma `ax+by+c=0` e `a_1x+b_1y+c_1=0` la condizione diventa: `a*a_1+ b*b_1=0` essendo `m=-a/b` e `m_1=-a_1/b_1`. Osserviamo che questa formula è più generale della precedente poiché si riferisce anche al caso in cui una delle due retta sia parallela all’asse x e l’altra parallela all’asse y, in quanto per quest’ultima non si può paralare di coefficiente angolare.

 Esempio

• Nel fascio di centro A(2,-1) determinare la retta perpendicolare alla retta: 6x-2y+1=0.

La retta variabile del fascio è di centro A è: `x-2+t(y+1)=0`; il coefficiente della retta del fascio è: `-1/t` mentre quello della retta data è `3` ed affinchè risultino perpendicolari il prodotto dei coefficienti angoli deve essere -1: `-1/t *3=-1 => t=3`. Allora, la retta cercata è: `x+3y+1=0`.

Retta passante per un punto e perpendicolare ad una retta data

Come è stato fatto per le rette parallele, così faremo per le rette perpendicolari; cioè la condizione si riversa sui coefficienti angolari, che devono essere reciproci e di segno opposto.

Se la retta data è in forma implicita, allora la formula è: `b(x-x_1)-a(y-y_1)=0` dove `(x_1,y_1)` sono le coordinate del punto per il quale deve passare la nostra retta e `ax+by+c=0` è la retta alla quale deve essere perpendicolare.

Se la retta data è in forma esplicita `y=mx+q` con `m!=0`, allora la formula è: `y-y_1= – 1/m(x-x_1)`.

Esempio

• Scrivere l’equazione della retta passante per P(3,-2) e perpendicolare a 3x-5y+7=0.

Usiamo la prima formula: `-5(x-3)-3(y+2)=0 <=> 5x+3y-9=0`.

• Scrivere l’equazione della retta passante per P(-1,-1/2) e perpendicolare a y=3x-1/5.

Usiamo la seconda formula, visto che la retta data è in forma esplicita: `y+1/2= -1/3 (x+1) <=> 2x+6y+5=0`.

 

Distanza di un punto da una retta

Vogliamo determinare la distanza del punto `P(x_1,y_1)` dalla retta `ax+by+c=0`, che significa -da un punto di vista geometrico- determinare il segmento di perpendicolare `bar(PH)`: si vede che tale segmento si ottiene intersecando la retta r con la perpendicolare condotta da P.

Risolvendo il sistema ed effettuando i calcolisi arriva a:

`bar(PH)= sqrt((x-x_1)^2+(y-y_1)^2)=|ax_1+by_1+c|/sqrt(a^2+b^2) `.

Quindi il numeratore di questa frazione è il modulo del valore che la retta assume nel punto P, il denominatore è la radice quadrata della somma dei quadrati dei coefficienti della x e della y della retta. In definitiva:

`d=|ax_1+by_1+c|/sqrt(a^2+b^2) `.

 

Esempio

• Determinare la distanza del punto P(3,-2) dalla retta  4x+3y-2=0.

In base alla formula si ha: `d=|4*3+3*(-2)-2|/sqrt(4^2+3^2)=4/5`.