Formule goniometriche

In questa sezione ci occuperemo soltanto di elencare le formule sugli angoli, partendo dai valori delle funzioni di angoli noti per finire alle formule di prostaferesi.

	0°`-=`360°	18°	30°	45°	60°	90°	180°	270°
sen	0	`(sqrt5-1)/4`	`1/2`	`sqrt2/2`	`sqrt3/2`	1	0	-1
cos	1	`sqrt ( 10+2sqrt5 ) / 4`	`sqrt3/2	`sqrt2/2`	`1/2`	0	-1	0
tg	0	`sqrt {( (5-2sqrt5 ) / 5 )} `	`sqrt3/3`	1	`sqrt3`	N.E.	0	N.E

  

Angoli complementari

`sin(90@-alpha) = cos alpha`

`cos(90@-alpha) = sin alpha`

`tg(90@-alpha) = cotg alpha`

Angoli anticomplementari ( che differiscono di un angolo retto)

`sin(90@+alpha) = cos alpha`

`cos(90@+alpha) = -sin alpha`

`tg(90@+alpha) = -cotg alpha`

 

Angoli supplementari

`sin(180@-alpha) = sin alpha`

`cos(180@-alpha) = -cos alpha`

`tg(180@-alpha) = -tg alpha`

 

Angoli antisupplementari (che differiscono di un angolo piatto)

`sin(180@+alpha) = -sin alpha`

`cos(180@+alpha) = -cos alpha`

`tg(180@+alpha) = tg alpha`

 

Angoli opposti ed esplementari

`sin(- alpha) = sin(360@-alpha) = -sin alpha`

`cos(-alpha) = cos(360@-alpha) = cos alpha`

`tg(-alpha) = tg(360@-alpha) = -tg alpha`

 

Formule di addizione e sottrazione

`sin(alpha+beta) = sinalpha cosbeta + cosalpha sinbeta`	`sin(alpha-beta) = sinalpha cosbeta – cosalpha sinbeta`
`cos(alpha+beta) = cosalpha cosbeta – sinalpha sinbeta`	`cos(alpha-beta) = cosalpha cosbeta + sinalpha sinbeta`
`tg(alpha+beta) = (tgalpha +tgbeta)/(1-tgalpha tgbeta)`	`tg(alpha-beta) = (tgalpha-tgbeta)/(1+tgalpha tgbeta)`

 

 

 

 

 

 

Formule di duplicazione
(si ottengono dalle formule di addizione, ponendo `alpha=beta`)

`sin 2alpha = 2sinalpha cosalpha`

`cos 2alpha = cos^2alpha-sin^2alpha`

`tg 2alpha = (2tgalpha)/(1-tg^2alpha)`

 

Formule di bisezione

`sin (alpha/2) = +-sqrt {((1-cosalpha) / 2 )} `

`cos (alpha/2) = +-sqrt {((1+cosalpha) / 2) } `

`tg (alpha/2) = +-sqrt {((1-cosalpha) / (1+cosalpha) )} `

 

Formule parametriche

poniamo `tg(alpha/2) = t` e supponiamo che `alpha!=(1+2k)180@` valore per cui la tangente si annulla. Allora si avrà:

`sin alpha = (2t)/(1+t^2)`

`cos alpha = (1-t^2)/(1+t^2)`

 

Formule di Werner
(consentono di trasformare prodotti in somme di funzioni goniometriche)

`sinalpha sinbeta = 1/2 [cos(alpha-beta) – cos(alpha+beta)]`

`cosalpha cosbeta = 1/2[cos(alpha+beta) + cos(alpha-beta)]`

`sinalpha cosbeta = 1/2[sin(alpha+beta) + sin(alpha-beta)]
 

Formule di prostaferesi
(consentono di trasformare somme in prodotti di funzioni goniometriche)

`sinp+sinq = 2 sin((p+q)/2) cos((p-q)/2)`

`sinp-sinq = 2 cos((p+q)/2) sin((p-q)/2)`

`cosp+cosq = 2 cos((p+q)/2) cos((p-q)/2)`

`cosp-cosq  = 2 sin((p+q)/2) sin((p-q)/2)`

 

Esempi

`sin40@+sin30@= 2sin35@cos5@`

`sin57@-cos20@= sin57@-sin(90@-70@)= 2cos63@30 sin(-6@30)`

`sin15@cos63@= 1/2[sin78@+sin(-48@)] = 1/2(sin78@-sin48@)`

 

N.B. quando c’è una scrittura tipo `sqrt {{{1-cosalpha}/ {1+cosalpha}}} ` si vuole intendere che tutto l’argomento della parentesi è sotto radice.