Funzioni goniometriche

Per parlare di questo argomento è necessario dare delle informazioni preliminari, anche in forma sintetica.

• Angolo: ciascuna delle due parti del piano in cui è diviso da due semirette uscenti da uno stesso punto, O (incluse le semirette)

Angolo convesso: non contiene i prolungamenti dei lati
Angolo concavo: contiene i prolungamenti dei lati

• Arco: parte di circonferenza contenuta in un angolo al centro della circonferenza stessa
• Grado: (unità di misura partica per la misura dell’ampiezza di un angolo) la `360^a` parte dell’angolo giro
• Radiante: (unità di misura teorica) l’angolo al centro di una circonferenza di raggio arbitrario che sottende un arco di lunghezza pari al raggio.

  Sapendo che la lunghezza della circonferenza rettificata rispetto al suo raggio è `c/r=2pi` possiamo stabilire le seguenti relazioni che ci consentono di passare dalla misura in gradi a quella in radianti e viceversa:
   

`360:2pi=g:r    =>    r=pi/180 g        e        g=180/pi r`

 

Un angolo si dice orientato quando si stabilisce quale dei due lati si considera come primo: orientato positivamente se si percorre l’angolo in senso antiorario, negativamente se lo si percorre in senso orario.

Ora, in un sistema di riferimento ortogonale introduciamo quella che si chiama circonferenza goniometrica centrata nell’origine degli assi ed avente raggio unitario. Consideriamo un angolo orientato `alpha`:

si chiama seno dell’angolo orientato `alpha` e si scrive `sinalpha` l’ordinata del punto P;

si chiama coseno dell’angolo orientato `alpha` e si scrive `cosalpha` l’ascissa di P.
 

Osservazione 1: `vec (QP)` e `vec (OQ)` sono misure positive o negative a seconda che il verso dei segmenti orientati coincida o no con il verso positivo o negativo dell’asse y e dell’asse x;

Osservazione 2: seno e coseno sono numeri reali relativi e sono funzioni dell’angolo, cioè sono numeri reali che dipendono esclusivamente dall’ampiezza dell’angolo considerato.

Identità fondamentale

`sinalpha^2+cosalpha^2=1`
 

deriva dal teorema di Pitagora applicato al triangolo rettangolo OQP:

`bar (OP)^2= bar (PQ)^2+ bar (OQ)^2   <=>   r^2=sinalpha^2+cosalpha^2=1`

Segue, dunque, che  `-1<=sinalpha<= 1`   e   `-1<=cosalpha<= 1`  pertanto non hanno senso scritture del tipo `sinalpha= -2` o  `cosalpha=5/2`.

Un’altra funzione dell’angolo è la tangente.

La tangente goniometrica di un angolo orientato AOP è l’ordinata del punto di intersezione T – quando esiste- fra la retta OP e la tangente geometrica alla circonferenza nel punto A.

In modo equivalente la tangente può essere definita come rapporto tre seno e coseno dello stesso angolo:

`tg alpha = sin alpha/cos alpha`

Variazione di seno, coseno, tangente
 

1° quadrante, quando `alpha` assume in ordine crescente tutti i valori compresi tra 0° e 90°:

• `sin alpha` assume in ordine crescente tutti i valori compresi tra 0 e 1
• `cos alpha` assume in ordine decrescente tutti i valori compresi tra 1 e 0

2° quadrante, quando `alpha` assume in ordine crescente tutti i valori compresi tra 90° e 180°:

• `sin alpha` assume in ordine decrescente tutti i valori compresi tra 1 e 0
• `cos alpha` assume in ordine decrescente tutti i valori compresi tra 0 e -1

3° quadrante, quando `alpha` assume in ordine crescente tutti i valori compresi tra 180° e 270°:

• `sin alpha` assume in ordine decrescente tutti i valori compresi tra 0 e -1
• `cos alpha` assume in ordine crescente tutti i valori compresi tra -1 e 0

4° quadrante, quando `alpha` assume in ordine crescente tutti i valori compresi tra 270° e 360°:

• `sin alpha` assume in ordine crescente tutti i valori compresi tra -1 e 0
• `cos alpha` assume in ordine crescente tutti i valori compresi tra 0 e 1

La tangente al variare dell’angolo può assumere qualunque valore, positivo, negativo, nullo; cioè assume valori nell’intervallo `(-oo, +oo)`:

• positivo se il punto cade nel 1° o 3° quadrante
• negativo se il punto cade nel 2° o 4° quadrante (l’ordinata del punto T è negativa)
• vale 0 a 180°

Infine, brevemente introduciamo altre funzioni dell’angolo:

`sec alpha=1/cos alpha`

`cosec alpha=1/sin alpha`

`ctg alpha=1/(tg alpha)`