Un’altra conica molto importante è l’ellisse che si ottiene intersecando una superficie conica con un piano, inclinato di un angolo maggiore dell’angolo di apertura della superficie conica e diverso da 90°.
Definizione: Si chiama ellisse il luogo geometrico dei punti del piano per i quali è costante la somma delle distanze da due punti fissi, detti fuochi.
E’ proprio dalla definizione che si perviene all’equazione canonica dell’ellisse:
siano F ed F’ i fuochi, la cui distanza sia 2c; sia 2a la somma costante di un punto generico P dai fuochi;
la retta FF’ venga assunta come asse delle x e la perpendicolare ad FF’ nel suo punto medio come asse delle y. Allora le coordinate dei fuochi sono (-c,0) e (c,0). Dalla definizione deve essere: `bar(PF’)+bar(PF)=2a`.
Passando alle distanze si ottiene: `sqrt((x-c)^2+y^2)+sqrt((x+c^2)+y^2)=2a`, che è un’equazione irrazionale.
Trasformandola in una razionale (isolando la radice ed elevando al quadrato entrambi i membri, ed avendo le idee chiare che si tratta di quantità positive essendo tutte distanze!) si ottiene, dopo alcune
semplificazioni: `(a^2-c^2)x^2+a^2y^2=a^2(a^2-c^2)`.
Prima di procedere osserviamo che deve essere 2a>2c, quindi a>c (perché nel triangolo FPF’ il lato F’F è minore della somma degli altri due); dunque la differenza `a^2-c^2` è positiva e poniamo: a^2-c^2=b^2 (`b in R^+`).
Sostituendo tale relazione nell’equazione prima trovata, abbiamo `b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2` e dividendo tutto per `a^2b^2` si ha l’equazione standard dell’ellisse: `x^2/a^2 +y^2/b^2 = 1`.
Deduciamo alcune proprietà dell’ellisse:
- è simmetrica rispetto all’origine (poichè contiene solo le potenze pari della x e della y; per cui se vi appartiene il punto `(x_1,y_1)` vi apparterranno anche i punti `(x_1, -y_1)`, `(-x_1,y_1)`, `(-x_1,-y_1)`.
Ciò spiega il motivo per cui gli assi x ed y vengono detti assi dell’ellisse ed il punto O centro dell’ellisse.
- L’ellisse è contenuta nel rettangolo limitato dalle rette `x=+-a` e `y=+-b` (infatti, dall’equazione canonica si ha che `y^2=b^2/a^2 (a^2-x^2)` e `x^2=a^2/b^2 (b^2-y^2)`; siccome i primi membri sono quantità positive, devono esserlo anche i secondi membri. Dunque deve essere: `-a<= x <= a`, `-b<= y <=b`).
- L’ellisse incontra gli assi coordinati nei punti di coordinate A(a,0) e A'(-a,0) (intersezioni con l’asse y); B(0,b) e B'(0,-b) (intersezioni con l’asse x). I punti A, A’, B, B’ sono detti vertici dell’ellisse; la misura `bar(AA ‘)` è l’asse maggiore, `bar(BB’)` l’asse minore.
- I fuochi dell’ellisse, note le misure dei semiassi, si ricavano dalla relazione: `a^2-c^2=b^2` da cui `c=+- sqrt(a^2-b^2)`.
- La quantità `c/a=e` è detta eccentrticità dell’ellisse ed è la misura di quanto l’ellisse differisce dalla cironferenza, per la sua forma più o meno allungata. Si ha sempre che e<1.
- Dato un punto `P(x_1, y_1)` e l’ellisse `x^2/a^2 + y^2/b^2 =1`,
se `x_1^2/a^2 + y_1^2/b^2 = 1` P sta sull’ellisse (sul contorno);
se `x_1^2/a^2 + y_1^2/b^2 < 1` P sta all’interno dell’ellisse (nella zona delimitata dalla curva);
se `x_1^2/a^2 + y_1^2/b^2 > 1` P sta all’esterno dell’ellisse.Le distanze `bar(PF)=r_1` e `bar(PF’)=r_2` sono dette raggi vettori focali e vale la relazione `r_1+r_2=2a`.
Tangenti ad un’ellisse
Come fatto per la circonfernza e la parabola, per determinare le tangenti ad un’ellisse bisogna mettere a sistema l’equazione della retta con l’equazione dell’ellisse ed imporre al discriminante del sistema di essere nullo.
Ma se il punto `P(x_1,y_1)` appartiene all’ellisse, si può ricorrere alla formula di sdoppiamento e la tangente si trova facilmente (e velocemente): ` (x_1*x)/a^2 +( y_1*y)/b^2 = 1`.
Ellisse con i fuochi sull’asse y
Se nell’equazione `x^2/a^2 + y^2/b^2 =1` si verifica che `a^2<b^2` , allora l’ellisse presenta i fuochi sull’asse delle ordinate; quindi le coordiante dei fuochi risultano:
`F'(0,-sqrt(b^2-a^2))` ed `F(0, sqrt(b^2-a^2))`.
*** Qualche esercizio ***
- Data l’ellisse`x^2/9 + y^2/4 =1` determinare a e b.
Visto che l’equazione è già scritta in forma canonica, basta scrivere `a^2=9 => a=3 => 2a=6` e `b^2=4 => b=2 => bar(BB’)=4`.
- Determinare a e b in modo che l’ellisse `x^2/a^2 + y^2/b^2 =1` passi per i punti P(-3,1,) e Q(-2,2). Successivamente, determinare i semiassi, la semidistanza focale e l’eccentricità.
Sostituiamo le coordinate dei punti nell’equazione dell’ellisse ed abbiamo:
`{(9/a^2 + 1/b^2 =1),(4/a^2 + 4/b^2=1):}`che si risolve per `1/a^2=u^2` e `1/b^2=v^2`. Allora si ha `a^2=32/3` e `b^2=32/5` e l’equazione è `3x^2/32 + 5y^2/32 =1`.I semiassi sono `a=sqrt(32/3)` e `b=sqrt(32/5)`; la semidistanza focale è `c=sqrt(a^2-b^2)=sqrt(32/3 – 32/5)=8/sqrt(15)`.
L’eccentricità, invece, è `e=c/a=8/sqrt(15) * sqrt(3/32)=sqrt(2/5)`.
- Scrivere l’equazione della tangente all’ellisse `x^2/18 + y^2/2 =1` nel suo punto (-3,1).
Poichè ci viene detto esplicitaemnte che il punto sta sull’ellisse, possiamo applicare la formula di sdoppiamento ed otteniamo subito la tangente cercata: `-3x/18 + y/2 =1 iff x-3y+6=0`.
- Scrivere l’equazione dell’ellisse sapendo che 2c=8 e b=3.
Ricaviamo c=4 e dalla relazione che lega fuochi ed assi ricaviamo `a^2`: `a^2=b^2+c^2=9+16=25`.
L’equazione è `x^2/25 +y^2/9 =1`. - Determinare l’equazione dell’ellisse avente un fuoco in (3/2;0) ed il semiasse su cui non giace il fuoco di lunghezza `sqrt(7/2)`.
Se `F(3/2, 0)` allora `F’=(-3/2,0)` da cui possiamo calcolare `c=3/2`. Poi sappiamo che `a^2-b^2=c^2` (relazione tra assi e fuochi) e
poichè i fuochi appartengono all’asse x (eq. canonica) il semiasse dato è b; quindi serve a: ` a^2=7/4+9/4=4`.
Quindi l’equazione è :
`x^2/4 + 4y^2/7 =1 iff 7x^2+16y^2=28`.
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