Limiti

In questa sessione tralascerò la definizione e la verifica, per dedicarmi al calcolo dei limiti, mostrando la risoluzione per le forme indeterminate.

`lim_{ x -> 4} (sqrt x +log_4 4)` per la continuità delle funzioni radice e logaritmo possiamo spezzare nella somma di due limiti
`lim _{x-> 4} sqrt x +lim_{ x->4} log_4 4= 2+1=3`

`lim_{ x->0^+} (1 / x + sin x)= +oo +0=+oo`

`lim_{ x->0} (xe^x)=0e^0=0*1=0`

`lim_{ x->1} e^x /x =e^1 / 1=e`

`lim_{ x-> 5} root3(3+x)= root3(lim _{x->5} (3+x))= root3 8=2`

 

Ora vediamo alcune forme indeterminate più frequenti.

Forma `0/0`

1) `lim_{ x->3} (x^3-3x^2+x-3)/(x^2-2x-3)` in questo caso cerchiamo di scomporre sia il numeratore che il denominatore edi semplificare, perciò al numeratore metto in evidenza la x sul primo e terzo termine e -3 sul secondo e quarto:

`lim_{x->3} (x(x^2+1)-3(x+1)/(x-3)(x+1))=lim _{x->3} ((x^2+1)(x-3)/(x-3)(x+1))=10/4=5/2`

2) `lim _{x->-1} (x^3+x^2-x-1)/(x^3+3x^3+3x+1)` al numeratore metto in evidenza la x di secondo grado sui primi due termini ed il segno meno sugli ultimi, mentre il denominatore è il cubo di un binomio:

`lim_{ x-> -1} (x^2(x+1)-(x+1)/(x+1)^3)= lim_{ x->-1} ((x+1)(x^2-1)/(x+1)^3)=lim_{x->-1} ((x+1)(x-1)/(x+1))=-2/0=oo`

 

Forma `oo/oo`

1) `lim_{ x-> -oo} ((x^5-x^3+x)/(3x^3+1))` per questo tipo di limite, raccogliamo a fattore sia al numeratore che al denominatore la x di grado massimo (al numeratore `x^5` e al denominatore `x^3`):

`lim_{ x-> -oo} ((x^5(1-1/x^2 +1/x^4))/(x^3(3+1/x^3)))=lim_{ x->-oo} x^2/3` (perché i termini `1/x^2, 1/x^4 e 1/x^3` tendono a zero per `x-> -oo`) `=+oo`

 

2) `lim_{ x-> -oo} (2x-3)/(x^4+1)` raccogliamo x al numeratore e `x^4` al denominatore:

`lim_{ x-> -oo} (x(2-3/x))/(x^4(1+1/x^4))=lim_{ x-> -oo} 2 /x^3=2/-oo=0`

 

 

3) `lim_{ x->oo} (3x^2-2)/(5x^2+4x)=lim_{ x->oo} (x^2(3-2/x^2))/((x^2(5+4/x)))=3/5`

 

Dunque, possiamo enunciare una regola:

quando abbiamo `lim_{ x-> +-oo} {A(x)}/{B(x)}`, con m=grado di A(x) ed n=grado di B(x), allora:

• se m>n, il limite è `+-oo` (dipende dai segni di `a_0` e `b_0`);
   
• se m=n, il limite è il rapporto `a_0/b_0`;
   
• se m<n, il limite è zero
   

Forma `oo-oo`

`lim_{ x-> +oo} (sqrt(x+1)-sqrtx)` in questi casi si procede con la razionalizzazione, in modo da far comparire il segno + tra le due funzioni:

`lim _{x->+oo}(sqrt(x+1)-sqrtx)(sqrt(x+1)+sqrtx)/(sqrt(x+1)+sqrtx)=lim_{ x->+oo} (x+1-x)/(sqrt(x+1)+sqrtx))=lim _{x-> +oo} 1/(sqrt(x+1)+sqrtx)=1/{+oo}=0`

 `lim_{x->+oo} log(x^2+1)-2logx` è una forma indeterminata ma possiamo usare le proprietà dei logaritmi e riscrivere il limite in questo modo:
`lim_{x->+oo}log ((x^2+1)/x^2)=log lim_{x->+oo}(x^2+1)/x^2` osserviamo che ci siamo ricondotti al limite di un rapporto tra due polinomi dello stesso grado, quindi il limite è uguale al rapporto dei coefficienti delle x di secondo grado:
`log lim_{x->+oo}(x^2+1)/x^2=log1=0`
 

Esempi con limiti notevoli

I limiti notevoli utilizzati negli esercizi seguenti, sono:

(a) `lim_{x->0} sinx/x=1`;
 

(b) `lim_{x->0}{ tgx}/x=1`;
 

(c) `lim_{x->0} (1-cosx)/x=0`;
 

(d) `lim_{x->0} (1-cosx)/x^2=1/2`;
 

(e) `lim_{x->0} (log_a (1+x))/x=log_a e`;
 

(f) `lim_{x->0}(a^x -1)/x=ln a`.

 

1) `lim_{x->0} (log_3(1+x))/2x=1/2 lim_{x->0}(log_3(1+x))/x=1/2*log_3 e`

2) `lim_{x->0}(5^{2x} -1)/x=ln5^2=ln25`

3) `lim_{x->0} (sin{x/2})/x` per ricondurci al limite notevole (a) moltiplichiamo e dividiamo il denominatore per 2
`lim_{x->0}(sin{x/2})/(x/2) 1/2= 1*1/2`
 

4) `lim_{x->0}{tgx}/(3x)= 1/3  lim_{x->0}{ tgx}/x=1/3*1=1/3`

5) `lim_{x->0}(sin x)^2/x=lim_{x->0} sinx/x* sinx=1*0=0`

6) `lim_{x->0} x^2 /(1-cosx)` osserviamo che è il reciproco di (d), quindi `=2`

7) `lim_{x->0}(sin2x)/(xcosx)` dalla formula di duplicazione del seno possiamo scrivere: `lim_{x->0}(2sinx cosx)/(xcosx)=lim_{x->0}2senx/x=2*1=2`

8) `lim_{x->0}sqrt(1-cosx)/x` per ricondurci a (d) basta portare il denominatore sotto radice: `lim_{x->0} sqrt((1-cosx)/x^2)=sqrt(1/2)=sqrt2/2

9) `lim_{x->0}({tgx}+sinx)/(3x)=1/3 lim_{x->0}  {tgx}/x+sinx/x=1/3*(1+1)=2/3`

10) `lim_{x->0}(1-sqrt cosx)/x^2` razionalizzando: `lim_{x->0} (1-sqrt cosx)/x^2 *(1+sqrt cosx)/(1+sqrt cosx)=(1-cosx)/(x^2(1+sqrt cosx))=1/(2(1+1))=1/4`

 

Altri limiti notevoli saranno trattati in una nuova sessione.