Logaritmi e loro proprietà

Prima di iniziare, desidero sottolineare che nonostante il nome un logaritmo non fa per niente paura. Anzi, nasce proprio per venire incontro a delle esigenze quotidiane, per facilitarci nei calcoli. Il termine “logaritmo” fu coniato da Napier, meglio conosciuto come Neper, unendo le radici greche logos = discorso, ragione, e arithmos = numero; per cui logaritmo = numero della ragione. L’uso dei logaritmi è legato all’astronomia (magnitudine delle stelle); alla biologia (crescita dei batteri); alla tettonica (scala di intensità dei terremoti) e questo perché si è studiato che molti fenomeni non obbediscono a leggi lineari. Un esempio per tutti: un terremoto di magnitudo 8 non è dannoso il doppio di uno con magnitudo 4.

Detto ciò, iniziamo con la definizione:

Dati due numeri positivi a e b, con `a!=1`, si chiama logaritmo in base a di b quell’unico numero che dato per esponente ad a ci restituisce b. Dunque, un logaritmo è un esponente; (a si chiama base del logaritmo, b argomento).

Pertanto sono equivalenti le scritture: `a^c = b , log_a b = c`.

Esempio

`log_3  9=2` perché `9=3^2`

`log_(1/2) (1/8)=3` perché `1/8=(1/2)^3`

`log_10 0,1=-1` perché `0,1=1/10=10^-1`

`log_5 1=0` perché `1=5^0`

`log_9 9=1` perché `9=9^1`
 

Osservazioni

1.  `log_a b>0` se `{(a>1),(b>1):}` e
   `{(0<a<1),(0<b<1):}`
    
2. `log_a b<0` se `{(a>0), (0<b<1):}` e
   `{(0<a<1),(b>1):}`
    
3. `log_a a=1` perché `a=a^1`
    
4. `log_a 1=0` perché `1=a^0`
    
5. `a=b <=> log_c a= log_c b`
    
6. se la base a>1, al crescere di b cresce il suo logaritmo
    
7. se la base a<1, al crescere di b il suo logaritmo decresce
    
8. non ha senso parlare di logartimo di un numero rispetto alla base 1 o rispetto ad una base negativa o nulla (si avrebbe un’equazione impossibile o indeterminata)
    
9. non esiste il logaritmo di un numero negativo

    

Poiché possiame scegliere infiniti numeri come base del logaritmo, infiniti sono i sistemi di logaritmi; le più comuni sono in base 10 ed in base e e scriveremo rispettivamente `log N` e `ln N`.

Proprietà dei logaritmi
 

1. il logaritmo del prodotto è uguale alla somma dei logaritmi dei singoli fattori: `log_a (b*c) = log_a b + log_a c`; e viceversa;
    
2. il logaritmo di una potenza ad esponente reale e base positiva è uguale al prodotto dell’esponente per il logaritmo  della base della potenza: `log_a b^c = c*log_a b`; e viceversa;
    
3. il logaritmo del quoziente di due nuemri positivi è ugaule alla differenza tra il logaritmo del dividendo ed il logaritmo del divisore:
   `log_a b/c = log_a b – log_a c`; e viceversa;
    
4. il logaritmo di un radicale è uguale al quoziente del logaritmo del radicando per l’indice del radicale: `log_a rootn(b) = 1/n log_a b`; e viceversa.

 

Esempio

Applichiamo le proprietà sopra descritte:

• `log_a 1/c = log_a 1 – log_a c = 0-log_a c = -log_a c`;
   
• `log_a rootn(b^m) = m/n log_a b (con b>0)`;
   
• `log_a 1/rootn(b) = -1/n log_a b`.
   

Passaggio da un sistema di logaritmo ad un altro

Tale problema si pone se conosciamo il logaritmo di un numero positivo N rispetto ad una base a e vogliamo trovare il logaritmo delle stesso numero in un’altra base, b.

Poniamo `x=log_b N <=> b^x=N` (x rappresenta il logaritmo nella nuova base, che è la nostra incognita); calcoliamo il logartimo in base a di

entrambi i membri dell’ultima uguaglianza: `log_a b^x = log_a N` ed applicando le proprietà si ha: `x*log_a b = log_a N`. Ricavando la x

abbiamo: `x = log_b N = {log_a N}/{log_a b}`.

Quindi, se vogliamo conoscere il logartimo di un  numero N in una nuova base, partendo dal logaritmo dello stesso numero in base a, basta

moltiplicare  il logaritmo noto per il modulo di trasformazione `1/{log_a b}` ed avremo il passaggio dal sistema di base a al sistema di base b.  Ne deriva che:

1. `log_{a^n} b^m = m/n log_a b`

    

2. `log_{a^n} b^n = log_a b`

    

3. `log_a b * log_b a = 1`
    

Esempio

Calcolare `log_(3sqrt3) 27`. Applicando la 2 di tali osservazioni, si ha: `log_(3sqrt3) 27 = log_(3^(3/2)) 3^3 = 3/(3/2)*log_3 3=2`.

Confrontare i numeri `log_4 5` e `log_(1/16) 1/25`. Otteniamo: `log_(1/16) 1/25 = log_16 25 =log_(4^2) 5^2 = log_4 5`, quindi  i numeri sono uguali.

Altre proprietà

 

• `a^{log_a b} = b`