Risoluzione di equazioni di 2° grado (parabola)

In questa sezione ci occuperemo della risoluzione di equazioni di secondo grado ed affronteremo anche la regola di Cartesio, che consente di determinare il segno delle soluzioni, prima ancora di trovarle.

Ogni equazione di 2° grado intera in una incognita può sempre essere ridotta alla forma canonica (standard): `ax^2+bx+c = 0` , con a, b, c numeri reali o espressioni letterali. Il coefficiente c è detto termine noto. Osserviamo fin d’ora che deve essere `a!=0` altriemnti avremmo un’equazione di primo grado.

• Se a, b, c, sono tutti non nulli l’equazione si diece completa
• Se b=0 l’equazione si dice pura
• Se c=0 l’equazione si dice spuria

Trovare le soluzioni significa determinare quei valori che sosituiti all’incognita rendono vera l’uguaglianza.

Affrontiamo la risoluzione in base al tipo di equazione, partendo dai casi più semplici.

Se l’equazione è spuria basta raccogliere la x ed applicare la Legge di Annullamento del Prodotto (LAP). Supponiamo, cioè, di avere

un’equazione del tipo `ax^2+bx=0` ; faremo in questo modo: `x(ax+b)=0` ed ora per la LAP avremo `x=0` ; `ax+b=0  => x= -b/a`.

In una equzione spuria si hanno sempre 2 soluzioni reali, una delle quali è 0 e l’altra `-b/a`.
 

Se l’equazione è pura basta trasportare il termine noto al secondo membro, cambiando il segno, ed estrarre la radice quadrata. Cioè, se

abbiamo `ax^2-c=0` faremo: `ax^2=c => x^2= c/a => x= +-sqrt(c/a)`  facendo attenzione che sotto radice non ci sia un numero negativo.

Per un’equazione completa troveremo le soluzioni sfruttando la formula risolutiva (o anche la formula ridotta se il coefficiente b è un numero pari):

`x_1,_2 = (-b+-sqrt (b^2-4ac))/(2a)`

formula ridotta

`x_1,_2 = (-b/2+-sqrt ((b/2)^2-ac))/(a)`

Dallo studio del `Delta` , la quantità sotto radice, possiamo conoscere a priori che tipo di soluzioni avremo:

• `Delta>0 => ` 2 soluzioni reali e distinte
• `Delta=0 => ` 2 soluzioni reali e coincidenti
• `Delta<0 => ` nessuna soluzione reale (ma 2 soluzioni complesse coniugate)

Vogliamo, ora, mettere in evidenza la relazione che sussiste tra i coefficienti di un’equazione di 2° grado e le sue soluzioni.

Infatti, si ha: `x_1+x_2 = -b/a`  e   `x_1*x_2 = c/a`.

Se chiamiamo `s=x_1+x_2`  e  `p=x_1*x_2`  sostituendo nell’equazione avremo `x^2-sx+p=0`  da cui la regola che permette di determinare le

soluzioni come due numeri la cui somma sia -s ed il cui prodotto sia p.

 

Inoltre, per un’equazione di 2° grado completa vale la Regola di Cartesio: se un’equazione di 2° grado – ordinata e completa – ammette radici

reali, ad ogni variazione corrisponde una radice positiva e ad ogni permanenza corrisponde una radice negativa, dove per variazione si

intende il susseguirsi di coefficienti di segni opposti, per permanenza il susseguirsi di coeficienti di segni uguali.

Ad esempio, l’equazione `x^2-5x+6` ha `Delta` positivo, qiundi ammette radici reali e distinte. In base alla Regola di Cartesio avremo due

radici positive, poichè tale equazione presenta 2 variazioni.I segni dei coefficienti sono (+ – +), quindi (+ -) è una variazione e (- +) è una

variazione.